Generalized empirical likelihood for a continuum of moment conditions

Dans cette thèse, je propose une généralisation de la méthode de vraisemblance empirique généralisée (GEL) pour permettre la possibilité d'avoir soit un très grand nombre de conditions de moment ou des conditions définies sur un continuum. Cette généralisation peut permettre par exemple d'estimer des modèles de régression avec régresseurs endogènes pour lesquels le nombre d'instruments est très élevé ou encore que la relation entre les régresseurs et les variables exogènes est inconnue. Il est également possible de baser notre estimation sur des conditions de moment construites à partir de fonctions caractéristiques. Il devient alors possible d'estimer les coefficients d'une distribution quelconque ou d'un processus stochastique lorsque sa fonction de vraisemblance n'admet pas de forme analytique. C'est le cas entre autres de la distribution stable et de la plupart des processus de diffusion exprimés en temps continu. Cette généralisation a été proposée par (Carrasco and Florens, 2000) pour la méthode des moments généralisés (CGMM). Sur la base des résultats de (Newey and Smith, 2004), qui démontrent la supériorité asymptotique de GEL sur GMM, la méthode que je propose représente donc une contribution substantielle. La thèse est divisée en trois chapitres. Le premier présente en détails la méthode de vraisemblance empirique généralisée pour un continuum de moments (CGEL), démontre la convergence en probabilité et en distribution de ses estimateurs et décrit la procédure à suivre en pratique pour estimer les coefficients du modèle à l'aide d'une approche matricielle relativement simple. De plus, je démontre l'équivalence asymptotique de CGEL et CGMM. CGEL est en fait un algorithme non-linéaire régularisé à la Tikhonov, qui permet d'obtenir l'estimateur GEL dans le cas où le nombre de conditions est très grand. Dans cette méthode, un paramètre de régularisation, αn, permet de résoudre le problème d'optimisation mal posé qui en résulte et d'obtenir une solution unique et stable. Le paramètre αn doit converger vers zéro lentement lorsque la taille d'échantillon augmente pour que l'estimateur soit convergent et que la solution demeure stable. Les détails du rythme de convergence de αn sont également présentés dans ce chapitre. Finalement, le chapitre présente la façon de tester les conditions de moments en généralisant les trois tests de spécifications existants pour GEL. Dans le chapitre 2, je présente plusieurs applications numériques. L'objectif est de voir les possibilités de CGEL, d'analyser les propriétés et ses estimateurs en échantillons finis, en comparaison avec ceux de CGMM, et de comprendre l'impact du paramètre αn sur le biais et la variance des estimateurs. Les applications analysées sont : l'estimation d'un modèle linéaire avec endogénéité de forme inconnue, l'estimation des paramètres d'une distribution stable et l'estimation des coefficients d'un processus de diffusion. De façon générale les résultats démontrent que la dominance de CGEL sur CGMM dépend de la valeur de αn. Cela démontre en fait la nécessité de développer une méthode de sélection de αn. Finalement, une méthode de sélection du paramètre an est proposée dans le dernier chapitre. Dans un premier temps, je démontre qu'une méthode de bootstrap simple permet difficilement de faire un choix optimal car elle produit une relation très volatile entre αn et l'erreur quadratique moyen (MSE) du coefficient. Ensuite, je présente une approximation de second ordre du MSE de CGEL par un développement stochastique des conditions de premier ordre comme fait par (Donald and Newey, 2001) pour les double moindres carrés, (Donald, Imbens and Newey, 2010) pour GEL ainsi que (Carrasco, 2010) et (Carrasco and Kotchoni, 2010) pour CGMM. Cette approche permet d'obtenir une relation lisse entre αn et le MSE et donc d'utiliser un algorithme d'optimisation pour obtenir le paramètre optimal. Les résultats semblent être conformes aux résultants précédents selon lesquels la méthode de vraisemblance empirique domine les autres méthodes faisant partie de la famille CGEL. Ils semblent également suggérer que αn, pour le cas linéaire considéré, devrait être choisi aussi petit que possible car c'est de cette façon que le MSE est minimisé. 
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\nMOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Vraisemblance Généralisée, Continuum de moments, Méthode des moments généralisés, Économétrie, Variables Instrumentales

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