Integrals, partitions, and cellular automata
Notice bibliographique
Résumé
We prove that <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="integral Subscript 0 Superscript 1 Baseline StartFraction minus log f left-parenthesis x right-parenthesis Over x EndFraction d x equals StartFraction pi squared Over 3 a b EndFraction comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi> π </mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*}\int _0^1\frac {-\log f(x)}xdx=\frac {\pi ^2}{3ab},\end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the decreasing function that satisfies <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f Superscript a Baseline minus f Superscript b Baseline equals x Superscript a Baseline minus x Superscript b"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f^a-f^b=x^a-x^b</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than a greater-than b"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0>a>b</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . When <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a"> <mml:semantics> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an integer and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b equals a plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">b=a+1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we deduce several combinatorial results. These include an asymptotic formula for the number of integer partitions not having <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a"> <mml:semantics> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> consecutive parts, and a formula for the metastability thresholds of a class of threshold growth cellular automaton models related to bootstrap percolation.
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,005 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,003 |
| Communication savante | 0,004 | 0,004 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,012 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».