Thin Edges in Braces
Notice bibliographique
Résumé
The bicontraction of a vertex $v$ of degree two in a graph, with precisely two neighbours $v_1$ and $v_2$, consists of shrinking the set $\{v_1,v,v_2\}$ to a single vertex. The retract of a matching covered graph $G$, denoted by $\widehat{G}$, is the graph obtained from $G$ by repeatedly bicontracting vertices of degree two. Up to isomorphism, the retract of a matching covered graph $G$ is unique. If $G$ is a brace on six or more vertices, an edge $e$ of $G$ is thin if $\widehat{G-e}$ is a brace. A thin edge $e$ in a simple brace $G$ is strictly thin if $\widehat{G-e}$ is a simple brace. Theorems concerning the existence of strictly thin edges have been used (implicitly by McCuaig (Pólya's Permanent Problem, Electron. J. of Combin., 11, 2004) and explicitly by the authors (On the Number of Perfect Matchings in a Bipartite Graph, SIAM J. Discrete Math., 27, 940-958, 2013)) as inductive tools for establishing properties of braces.Let $G$ and $J$ be two distinct braces, where $G$ is of order six or more and $J$ is a simple matching minor of $G$. It follows from a theorem of McCuaig (Brace Generation, J. Graph Theory, 38, 124-169, 2001) that $G$ has a thin edge $e$ such that $J$ is a matching minor of $G-e$. In Section 2, we give an alternative, and simpler proof, of this assertion. Our method of proof lends itself to proving stronger results concerning thin edges.Let ${\cal G}^+$ denote the family of braces consisting of all prisms, all Möbius ladders, all biwheels, and all extended biwheels. Strengthening another result of McCuaig on brace generation, we show that every simple brace of order six or more which is not a member of ${\cal G}^+$ has at least two strictly thin edges. We also give examples to show that this result is best possible.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».