Theories for Subexponential-size Bounded-depth Frege Proofs
Notice bibliographique
Résumé
This paper is a contribution to our understanding of the relationship between uniform and nonuniform proof complexity. The latter studies the lengths of proofs in various propositional proof systems such as Frege and bounded-depth Frege systems, and the former studies the strength of the corresponding logical theories such as VNC1 and V0 in [Cook/Nguyen, 2010]. A superpolynomial lower bound on the length of proofs in a propositional proof system for a family of tautologies expressing a result like the pigeonhole principle implies that the result is not provable in the theory associated with the propositional proof system. We define a new class of bounded arithmetic theories n^epsilon-ioV^\infinity for epsilon < 1 and show that they correspond to complexity classes AltTime(O(1),O(n^epsilon)), uniform classes of subexponential-size bounded-depth circuits DepthSize(O(1),2^O(n^epsilon)). To accomplish this we introduce the novel idea of using types to control the amount of composition in our bounded arithmetic theories. This allows our theories to capture complexity classes that have weaker closure properties and are not closed under composition. We show that the proofs of Sigma^B_0-theorems in our theories translate to subexponential-size bounded-depth Frege proofs. We use these theories to formalize the complexity theory result that problems in uniform NC1 circuits can be computed by uniform subexponential bounded-depth circuits in [Allender/Koucky, 2010]. We prove that our theories contain a variation of the theory VNC1 for the complexity class NC1. We formalize Buss's proof in [Buss, 1993] that the (unbalanced) Boolean Formula Evaluation problem is in NC1 and use it to prove the soundness of Frege systems. As a corollary, we obtain an alternative proof of [Filmus et al, ICALP, 2011] that polynomial-size Frege proofs can be simulated by subexponential-size bounded-depth Frege proofs. Our results can be extended to theories corresponding to other nice complexity classes inside NTimeSpace(n^O(1), n^o(1)) such as NL. This is achieved by essentially formalizing the containment NTimeSpace(n^O(1), n^o(1)) \subseteq AltTime(O(1), O(n^epsilon)) for all epsilon > 0.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,021 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,003 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,004 |
| Communication savante | 0,004 | 0,017 |
| Science ouverte | 0,003 | 0,004 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,007 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,010 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».