Notice bibliographique
Résumé
In this paper, we determine, in the case of the Laplacian on the flat three-dimensional torus <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis double-struck upper R slash double-struck upper Z right-parenthesis cubed"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mspace width="thinmathspace"/> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(\mathbb {R}/\mathbb {Z})^3\,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , all the eigenvalues having an eigenfunction which satisfies the Courant nodal domain theorem with equality (Courant-sharp situation). Following the strategy of Å. Pleijel (1956), the proof is a combination of an explicit lower bound of the counting function and a Faber–Krahn-type inequality for domains in the torus, deduced, as in the work of P. Bérard and D. Meyer (1982), from an isoperimetric inequality. This inequality relies on the work of L. Hauswirth, J. Pérez, P. Romon, and A. Ros (2004) on the periodic isoperimetric problem.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,004 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,004 | 0,005 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,008 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,005 | 0,005 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; les deux têtes enseignantes s’accordent sur ce qui est montré ici.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».