Would real analysis be complete without the fundamental theorem of calculus?
Notice bibliographique
Résumé
Echoing L.R.Ford's opening words 1 of his delightful Monthly article [5], perhaps we, too, owe an apology to the reader for asking a seemingly flippant question in the title of this paper, whose answer must so obviously be 'no'.After all, the adjective "fundamental" says it all -even if, as Bressoud points out, that designation did not come into use until relatively recently [1].We admit that we chose the title for effect, accepting the possibility of leading the reader astray; a more descriptive title would have been: "would the real numbers be complete without the Fundamental Theorem of Calculus?"In some sense, however, the title is actually accurate in that this paper will show that a mathematical "world" (which we interpret to mean "totally ordered field") without the Fundamental Theorem of Calculus would necessarily be lacking of many of the most cherished parts of Real Analysis.Over the last decade or so it has been noticed that many statements / theorems from the standard canon of (single-variable) Real Analysis not only crucially depend on the completeness of the real numbers but are in fact equivalent to completeness; see [9,8,11] for various lists of such statements.While this fact may be reasonably well known, or at least be somewhat expected, for some statements such as the Intermediate, Mean, and Extreme Value Theorems, it may be more surprising for others, such as the Ratio Test [8], the Principle of Real Induction [3] or the Weierstrass Approximation Theorem.The most surprising feature of the list of statements equivalent to completeness, however, may very well be its sheer size, which, in its most recent version [4], comprises 70 items!Curiously, the most coveted candidate for the list, the Fundamental Theorem of Calculus (FTC), has been the most "difficult customer" in this enterprise and so far resisted inclusion 2 .
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,008 | 0,015 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,014 |
| Communication savante | 0,006 | 0,019 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,003 | 0,005 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,004 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».