Parity of transversals of Latin squares
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
We introduce a notion of parity for transversals, and use it to show that in Latin squares of order <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mspace width="0.277778em"/> <mml:mo form="prefix">mod</mml:mo> <mml:mspace width="0.277778em"/> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , the number of transversals is a multiple of 4. We also demonstrate a number of relationships (mostly congruences modulo 4) involving <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is the number of diagonals of a given Latin square that contain exactly <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:math> different symbols. Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>∣</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> denote the matrix obtained by deleting row <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:math> and column <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:math> from a parent matrix <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:math> . Define <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> to be the number of transversals in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>∣</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , for some fixed Latin square <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> . We show that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mspace width="0.277778em"/> <mml:mo form="prefix">mod</mml:mo> <mml:mspace width="0.277778em"/> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> . Also, if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> has odd order then the number of transversals of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> equals <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> mod 2. We conjecture that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="0.277778em"/> <mml:mo form="prefix">mod</mml:mo> <mml:mspace width="0.277778em"/> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . In the course of our investigations we prove several results that could be of interest in other contexts. For example, we show that the number of perfect matchings in a <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:math> -regular bipartite graph on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> vertices is divisible by <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:math> when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle