Sums of two đ-units via Frey-Hellegouarch curves
Notice bibliographique
Résumé
In this paper, we develop a new method for finding all perfect powers which can be expressed as the sum of two rational <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -units, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a finite set of primes. Our approach is based upon the modularity of Galois representations and, for the most part, does not require lower bounds for linear forms in logarithms. Its main virtue is that it enables us to carry out such a program explicitly, at least for certain small sets of primes <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ; we do so for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S equals StartSet 2 comma 3 EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S = \{ 2, 3 \}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S equals StartSet 3 comma 5 comma 7 EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>7</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S= \{ 3, 5, 7 \}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complÚte
Imitation des enseignantsNi prĂ©valence calibrĂ©e, ni vĂ©ritĂ© terrain. Validation humaine Ă venir. Apprise Ă partir de 10 348 Ă©tiquettes directes de Codex et de 10 348 Ă©tiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des tĂȘtes enseignantes seuillĂ©es; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des Ă©tiquettes humaines ni des Ă©tiquettes directes de modĂšles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| MĂ©tarecherche | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Ătudes des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modÚle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux tĂȘtes enseignantes du modĂšle Ă©tudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catĂ©gorie, et le statut de validation accompagne chaque rangĂ©e tel quel.
Scores de référence d'un modÚle non mature (critÚres de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validĂ©ePrĂ©diction automatique; un appel candidat dâune seule tĂȘte enseignante, pas un consensus.
Le détail, modÚle par modÚle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».