Explicit Salem sets and applications to metrical Diophantine approximation
Notice bibliographique
Résumé
Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q"> <mml:semantics> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be an infinite subset of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbb {Z}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Psi colon double-struck upper Z right-arrow left-bracket 0 comma normal infinity right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Ψ </mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Psi : {\mathbb {Z}} \rightarrow [0,\infty )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be positive on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q"> <mml:semantics> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="theta element-of double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\theta \in {\mathbb {R}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Define <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E left-parenthesis upper Q comma normal upper Psi comma theta right-parenthesis equals StartSet x element-of double-struck upper R colon double-vertical-bar q x minus theta double-vertical-bar less-than-or-equal-to normal upper Psi left-parenthesis q right-parenthesis for infinitely many q element-of upper Q EndSet period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Ψ </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Ψ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext> for infinitely many </mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} E(Q,\Psi ,\theta ) = \{ x \in {\mathbb {R}} : \| q x - \theta \| \leq \Psi (q) \text { for infinitely many $q \in Q$} \}. \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> We prove a lower bound on the Fourier dimension of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E left-parenthesis upper Q comma normal upper Psi comma theta right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Ψ </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E(Q,\Psi ,\theta )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . This generalizes theorems of Kaufman and Bluhm and yields new explicit examples of Salem sets. We give applications to metrica
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,001 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».