Fourier Concentration from Shrinkage.
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
For a class $${\mathcal{F}}$$F of formulas (general de Morgan or read-once de Morgan), the shrinkage exponent$${\Gamma_{\mathcal{F}}}$$ΓF is the parameter measuring the reduction in size of a formula $${F\in\mathcal{F}}$$FźF after $${F}$$F is hit with a random restriction. A Boolean function $${f\colon \{0,1\}^n\to\{1,-1\}}$$f:{0,1}nź{1,-1} is Fourier-concentrated if, when viewed in the Fourier basis, $${f}$$f has most of its total mass on low-degree coefficients. We show a direct connection between the two notions by proving that shrinkage implies Fourier concentration: For a shrinkage exponent $${\Gamma_{\mathcal{F}}}$$ΓF, a formula $${F\in\mathcal{F}}$$FźF of size $${s}$$s will have most of its Fourier mass on the coefficients of degree up to about $${s^{1/\Gamma_{\mathcal{F}}}}$$s1/ΓF. More precisely, for a Boolean function $${f\colon\{0,1\}^n\to\{1,-1\}}$$f:{0,1}nź{1,-1} computable by a formula of (large enough) size $${s}$$s and for any parameter $${r > 0}$$r>0, $$\sum_{A\subseteq [n]\; :\; |A|\geq s^{1/\Gamma} \cdot r} \hat{f}(A)^2\leq s\cdot{\mathscr{polylog}}(s)\cdot exp\left(-\frac{r^{\frac{\Gamma}{\Gamma-1}}}{s^{o(1)}} \right),$$źA⊆[n]:|A|źs1/Γ·rf^(A)2źs·polylog(s)·exp-rΓΓ-1so(1),where $${\Gamma}$$Γ is the shrinkage exponent for the corresponding class of formulas: $${\Gamma=2}$$Γ=2 for de Morgan formulas, and $${\Gamma=1/\log_2(\sqrt{5}-1)\approx 3.27}$$Γ=1/log2(5-1)ź3.27 for read-once de Morgan formulas. This Fourier concentration result is optimal, to within the $${o(1)}$$o(1) term in the exponent of $${s}$$s. As a standard application of these Fourier concentration results, we get that subquadratic-size de Morgan formulas have negligible correlation with parity. We also show the tight $${\Theta(s^{1/\Gamma})}$$ź(s1/Γ) bound on the average sensitivity of read-once formulas of size $${s}$$s, which mirrors the known tight bound $${\Theta(\sqrt{s})}$$ź(s) on the average sensitivity of general de Morgan $${s}$$s-size formulas.
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,001 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle