New Sums Identities In Weighted Catalan Triangle With The Powers Of Generalized Fibonacci And Lucas Numbers.
Notice bibliographique
Résumé
In this paper, we consider a generalized Catalan triangle de ned by km n 2n n k for positive integer m: Then we compute the weighted half binomial sums with the certain powers of generalized Fibonacci and Lucas numbers of the form n X k=0 2n n+ k km n X tk; where Xn either generalized Fibonacci or Lucas numbers, t and r are integers for 1 m 6: After we describe a general methodology to show how to compute the sums for further values of m. 1. Introduction Shapiro [6] derived the following triangle similar to Pascals triangle with entries given by Bn;k = k n 2n n k ; which called Catalan triangle because the Catalan numbers Cn = 1 n+1 2n n are the entries in the rst column. Shapiro derived sums identities from the Catalan triangle. For example, he gave the following identities: n X p=1 (Bn;p) 2 = C2n 1 and n X p=1 Bn;pBn+1;p = C2n: We also refer to [5] and references therein for other examples. 2000 Mathematics Subject Classi cation. 11B37. Key words and phrases. Catalan triangle, sums identites, partial binomial sum, recursions. 1 2 EMRAH KILIC AND AYNUR YALCINER The authors [4] gave also an alternative proof of the identities above and established the following identity: n X p=1 (pBn;p) 2 = (3n 2)C2(n 1): In a somewhat di¤erent from the Catalan triangle, K¬l¬c and Ionascu [2] derived the following result: for any a 2 C f0g ; n X p=1 2n n+ k a + a k = 1 an (a+ 1) 2n + (n+ 1)Cn: The authors also gave applications to the generalized Fibonacci and Lucas sequences, de ned by Un = AUn 1 + Un 2; Vn = AVn 1 + Vn 2; where U0 = 0; U1 = 1; and V0 = 2; V1 = A; respectively. The Binet forms are Un = n n and Vn = n + n where ; = (A p )=2 and = A + 4: For example, we recall one result from [2]: n X
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,004 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,001 |
| Communication savante | 0,002 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,010 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».