First-Fit coloring of Cartesian product graphs and its defining sets
Notice bibliographique
Résumé
Let the vertices of a Cartesian product graph G□H be ordered by an ordering σ. By the First-Fit coloring of (G□H,σ) we mean the vertex coloring procedure which scans the vertices according to the ordering σ and for each vertex assigns the smallest available color. Let FF(G□H,σ) be the number of colors used in this coloring. By introducing the concept of descent we obtain a sufficient condition to determine whether FF(G□H,σ)=FF(G□H,τ), where σ and τ are arbitrary orders. We study and obtain some bounds for FF(G□H,σ), where σ is any quasi-lexicographic ordering. The First-Fit coloring of (G□H,σ) does not always yield an optimum coloring. A greedy defining set of (G□H,σ) is a subset S of vertices in the graph together with a suitable pre-coloring of S such that by fixing the colors of S the First-Fit coloring of (G□H,σ) yields an optimum coloring. We show that the First-Fit coloring and greedy defining sets of G□H with respect to any quasi-lexicographic ordering (including the known lexicographic order) are all the same. We obtain upper and lower bounds for the smallest cardinality of a greedy defining set in G□H, including some extremal results for Latin squares.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,005 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,002 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».