Monotone homotopies and contracting discs on Riemannian surfaces
Notice bibliographique
Résumé
A monotone homotopy is a homotopy composed of simple closed curves which are also pairwise disjoint. In this paper, we prove a “gluing” theorem for monotone homotopies; we show that two monotone homotopies which have appropriate overlap can be replaced by a single monotone homotopy. The ideas used to prove this theorem are used in [G. R. Chambers and Y. Liokumovich, Existence of minimal hypersurfaces in complete manifolds of finite volume, arXiv:1609.04058] to prove an analogous result for cycles, which forms a critical step in their proof of the existence of minimal surfaces in complete non-compact manifolds of finite volume. We also show that, if monotone homotopies exist, then fixed point contractions through short curves exist. In particular, suppose that [Formula: see text] is a simple closed curve of a Riemannian surface, and that there exists a monotone contraction which covers a disc which [Formula: see text] bounds consisting of curves of length [Formula: see text]. If [Formula: see text] and [Formula: see text], then there exists a homotopy that contracts [Formula: see text] to [Formula: see text] over loops that are based at [Formula: see text] and have length bounded by [Formula: see text], where [Formula: see text] is the diameter of the surface. If the surface is a disc, and if [Formula: see text] is the boundary of this disc, then this bound can be improved to [Formula: see text].
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,001 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,004 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».