Notice bibliographique
Résumé
We examine stable solutions of the following symmetric system on a complete, connected, smooth Riemannian manifold <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper M"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {M}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> without boundary, <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="minus normal upper Delta Subscript g Baseline u Subscript i Baseline equals upper H Subscript i Baseline left-parenthesis u 1 comma midline-horizontal-ellipsis comma u Subscript m Baseline right-parenthesis on double-struck upper M comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} -\Delta _g u_i = H_i(u_1,\cdots ,u_m) \ \ \text {on} \ \ \mathbb {M}, \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Delta Subscript g"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Delta _g</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> stands for the Laplace-Beltrami operator, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u Subscript i Baseline colon double-struck upper M right-arrow double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u_i:\mathbb {M}\to \mathbb R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript i Baseline element-of upper C Superscript 1 Baseline left-parenthesis double-struck upper R Superscript m Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H_i\in C^1(\mathbb R^m)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 less-than-or-equal-to i less-than-or-equal-to m"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1\le i\le m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . This system is called symmetric if the matrix of partial derivatives of all components of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H"> <mml:semantics> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , that is, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper H left-parenthesis u right-parenthesis equals left-parenthesis partial-differential Subscript j Baseline upper H Subscript i Baseline left-parenthesis u right-parenthesis right-parenthesis Subscript i comma j equals 1 Superscript m"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,002 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,001 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».