The number of large prime factors of integers and normal numbers
Notice bibliographique
Résumé
In a series of papers, we constructed large families of normal numbers using the concatenation of the values of the largest prime factor <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> runs through particular sequences of positive integers. A similar approach using the smallest prime factor function also allowed for the construction of normal numbers. Letting <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> stand for the number of distinct prime factors of the positive integer <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> , we then showed that the concatenation of the successive values of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mo>⌊</mml:mo> <mml:mo form="prefix">log</mml:mo> <mml:mo form="prefix">log</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>⌋</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> in a fixed base <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> runs through the integers <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , yields a normal number. Here we prove the following. Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> be a fixed integer. Given an integer <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">max</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:math> be the unique positive integer satisfying <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> stand for the residue modulo <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:math> of the number of distinct prime factors of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> located in the interval <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo form="prefix">log</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . Setting <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , we then create a normal number in base <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:math> using the concatenation of the numbers <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> runs through the integers <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> .
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».