Compact manifolds with fixed boundary and large Steklov eigenvalues
Notice bibliographique
Résumé
Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper M comma g right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(M,g)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a compact Riemannian manifold with boundary. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">b>0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the number of connected components of its boundary. For manifolds of dimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="greater-than-or-equal-to 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\geq 3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we prove that for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="j equals b plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">j=b+1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> it is possible to obtain an arbitrarily large Steklov eigenvalue <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma Subscript j Baseline left-parenthesis upper M comma e Superscript delta Baseline g right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> σ </mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi> δ </mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sigma _j(M,e^\delta g)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> using a conformal perturbation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="delta element-of upper C Superscript normal infinity Baseline left-parenthesis upper M right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> δ </mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\delta \in C^\infty (M)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> which is supported in a thin neighbourhood of the boundary, with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="delta equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> δ </mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\delta =0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on the boundary. For <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="j less-than-or-equal-to b"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">j\leq b</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , it is also possible to obtain arbitrarily large eigenvalues, but the conformal factor must spread throughout the interior of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . In fact, when working in a fixed conformal class and for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="delta equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> δ </mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\delta =0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on the boundary, it is known that the volume of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper M comma e Superscript delta Baseline g right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi> δ </mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="app
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,002 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,001 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».