Notice bibliographique
Résumé
In this paper, we determine the maximum number of distinct Lyndon factors that a word of length $n$ can contain. We also derive formulas for the expected total number of Lyndon factors in a word of length $n$ on an alphabet of size $\sigma$, as well as the expected number of distinct Lyndon factors in such a word. The minimum number of distinct Lyndon factors in a word of length $n$ is $1$ and the minimum total number is $n$, with both bounds being achieved by $x^n$ where $x$ is a letter. A more interesting question to ask is what is the minimum number of distinct Lyndon factors in a Lyndon word of length $n$? In this direction, it is known (Saari, 2014) that a lower bound for the number of distinct Lyndon factors in a Lyndon word of length $n$ is $\lceil\log_{\phi}(n) + 1\rceil$, where $\phi$ denotes the golden ratio $(1 + \sqrt{5})/2$. Moreover, this lower bound is sharp when $n$ is a Fibonacci number and is attained by the so-called finite Fibonacci Lyndon words, which are precisely the Lyndon factors of the well-known infinite Fibonacci word $\boldsymbol{f}$ (a special example of an infinite Sturmian word). Saari (2014) conjectured that if $w$ is Lyndon word of length $n$, $n\ne 6$, containing the least number of distinct Lyndon factors over all Lyndon words of the same length, then $w$ is a Christoffel word (i.e., a Lyndon factor of an infinite Sturmian word). We give a counterexample to this conjecture. Furthermore, we generalise Saari's result on the number of distinct Lyndon factors of a Fibonacci Lyndon word by determining the number of distinct Lyndon factors of a given Christoffel word. We end with two open problems.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,003 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».