The closest point method for time-dependent processes on surfaces
Notice bibliographique
Résumé
This thesis concerns the numerical solution of time-dependent partial differential equations (PDEs) on general surfaces using a recent technique known as the Closest Point Method. The Closest Point Method represents surfaces with a closest point representation which leads to great flexibility with respect to surface geometry, among other advantages. The computation itself alternates between two steps: first, an explicit time step is performed using standard finite difference techniques on a narrow band of grid points surrounding the surface embedded in a higher dimension; second, a closest point extension is used to maintain consistency with the original surface PDE. The Closest Point Method is applied to the important problem of interface motion on surfaces by using level set equations posed on surfaces. New weighted essentially non-oscillatory (WENO) interpolation schemes are derived to perform the necessary closest point extensions. This approach, in combination with standard Hamilton--Jacobi WENO finite difference schemes and explicit time stepping, gives high-order results (up to fifth-order) on a variety of test problems. Example computations are performed on a sphere, torus, triangulated human hand and Klein bottle to demonstrate the flexibility of the method. A new implicit Closest Point Method is presented for surface PDEs which are stiff, for example, because of diffusion terms. The method uses implicit time-stepping schemes to allow large steps but retains the flexibility with respect to surface geometry of the original explicit Closest Point Method. Numerical convergence studies on the heat equation and a fourth-order biharmonic problem demonstrate the accuracy of the method and a variety of example computations demonstrate its effectiveness. These include an image processing example of blurring on triangulated surfaces, heat diffusion on a surface consisting of multiple components connected by a thin filament and Turing pattern formation on surfaces using implicit--explicit (IMEX) time stepping. A class of time-stepping methods known as diagonally split Runge--Kutta (DSRK) methods is investigated. These methods appear promising because they offer both high-order convergence and unconditional contractivity (a nonlinear stability property). However, numerical computations and analysis of stage-order demonstrates that unconditionally contractive DSRK methods suffer from order reduction which severely limits their practical application.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,004 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,001 |
| Communication savante | 0,002 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,003 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,003 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,013 | 0,007 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».