The metric dimension of circulant graphs and their Cartesian products
Notice bibliographique
Résumé
Let G = (V, E) be a connected graph (or hypergraph) and let d(x, y) denote the distance between vertices x, y ∈The minimum cardinality of a resolving set for G is called the metric dimension of G, denoted by β(G).The circulant graph Cn(1, 2, . . ., t) has vertex set {v0, v1, . . ., vn-1} and edges vivi+j where 0 ≤ i ≤ n -1 and 1 ≤ j ≤ t and the indices are taken modulo n (2 ≤ t ≤ n 2 ).In this paper we determine the exact metric dimension of the circulant graphs Cn(1, 2, . . ., t), extending previous results due to Borchert and Gosselin (2013), Grigorious et al. (2014), andVetrík (2016).In particular, we show that β(Cn(1, 2, . . ., t)) = β(Cn+2t(1, 2, . . ., t)) for large enough n, which implies that the metric dimension of these circulants is completely determined by the congruence class of n modulo 2t.We determine the exact value of β(Cn(1, 2, . . ., t)) for n ≡ 2 mod 2t and n ≡ (t + 1) mod 2t and we give better bounds on the metric dimension of these circulants for n ≡ 0 mod 2t and n ≡ 1 mod 2t.In addition, we bound the metric dimension of Cartesian products of circulant graphs.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,004 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,002 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,002 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».