Notice bibliographique
Résumé
A set of sufficient conditions which guarantee the existence of a point x ⋆ such that f (x ⋆ ) = x ⋆ is called a "fixed point theorem".Many such theorems are named after well-known mathematicians and economists.Fixed point theorems are among most useful ones in applied mathematics, especially in economics and game theory.Particularly important theorem in these areas is Kakutani's fixed point theorem which ensures existence of fixed point for point-to-set mappings, e.g., [2,3,4].John Nash developed and applied Kakutani's ideas to prove the existence of (what became known as) "Nash equilibrium" for finite games with mixed strategies for any number of players.This work earned him a Nobel Prize in Economics that he shared with two mathematicians.Nash's life was dramatized in the movie "Beautiful Mind" in 2001.In this paper, we approach the system f (x) = x differently.Instead of studying existence of its solutions our objective is to determine conditions which are both necessary and sufficient that an arbitrary point x ⋆ is a fixed point, i.e., that it satisfies f (x ⋆ ) = x ⋆ .The existence of solutions for continuous function f of the single variable is easy to establish using the Intermediate Value Theorem of Calculus.However, characterizing fixed points x ⋆ , i.e., providing answers to the question of finding both necessary and sufficient conditions for an arbitrary given x ⋆ to satisfy f (x ⋆ ) = x ⋆ , is not simple even for functions of the single variable.It is possible that constructive answers do not exist.Our objective is to find them.Our work may require some less familiar tools.One of these might be the "quadratic envelope characterization of zero-derivative point" recalled in the next section.The results are taken from the author's current Research project "Studying the Essence of Fixed Points".They are believed to be original.The author has received several feedbacks on the preliminary report and on parts of the project which can be seen on Internet [9].
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,005 | 0,019 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,002 | 0,003 |
| Bibliométrie | 0,005 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,006 |
| Communication savante | 0,005 | 0,007 |
| Science ouverte | 0,003 | 0,004 |
| Intégrité de la recherche | 0,004 | 0,004 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,011 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».