Longest Monotone Subsequences and Rare Regions of Pattern-Avoiding Permutations
Notice bibliographique
Résumé
We consider the distributions of the lengths of the longest monotone and alternating subsequences in classes of permutations of size $n$ that avoid a specific pattern or set of patterns, with respect to the uniform distribution on each such class. We obtain exact results for any class that avoids two patterns of length 3, as well as results for some classes that avoid one pattern of length 4 or more. In our results, the longest monotone subsequences have expected length proportional to $n$ for pattern-avoiding classes, in contrast with the $\sqrt n$ behaviour that holds for unrestricted permutations. In addition, for a pattern $\tau$ of length $k$, we scale the plot of a random $\tau$-avoiding permutation down to the unit square and study the "rare region", which is the part of the square that is exponentially unlikely to contain any points. We prove that when $\tau_1>\tau_k$, the complement of the rare region is a closed set that contains the main diagonal of the unit square. For the case $\tau_1=k,$ we also show that the lower boundary of the part of the rare region above the main diagonal is a curve that is Lipschitz continuous and strictly increasing on $[0,1]$.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,012 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,002 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,005 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».