Characterization of linear maps on<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:math>whose multiplicity maps have maximal norm, with an application in quantum information
Notice bibliographique
Résumé
Given a linear map<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub></mml:math>, its multiplicity maps are defined as the family of linear maps<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mo>⊗</mml:mo><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mtext>id</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>⊗</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo>⊗</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mtext>id</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>denotes the identity on<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:math>. Let<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:msub><mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:math>denote the trace-norm on matrices, as well as the induced trace-norm on linear maps of matrices, i.e.<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:msub><mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo movablelimits="true" form="prefix">max</mml:mo><mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo><mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:msub><mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo></mml:math>. A fact of fundamental importance in both operator algebras and quantum information is that<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mo>⊗</mml:mo><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mtext>id</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:math>can grow with<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>. In general, the rate of growth is bounded by<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:mo>⊗</mml:mo><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mtext>id</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi><mml:msub><mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:math>, and matrix transposition is the canonical example of a map achieving this bound. We prove that, up to an equivalence, the transpose is the unique map achieving this bound. The equivalence is given in terms of complete trace-norm isometries, and the proof relies on a particular characterization of complete trace-norm isometries regarding preservation of certain multiplication relations.We use this result to characterize the set of single-shot quantum channel discrimination games satisfying a norm relation that, operationally, implies that the game can be won with certainty using entanglement, but is hard to win without entanglement. Specifically, we show that the well-known example of such a game, involving the Werner-Holevo channels, is essentially the unique game satisfying this norm relation. This constitutes a step towards a characterization of single-shot quantum channel discrimination games with maximal gap between optimal performance of entangled and unentangled strategies.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,001 |
| Communication savante | 0,000 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,002 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; les deux têtes enseignantes s’accordent sur ce qui est montré ici.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».