Prime geodesic theorem in the 3-dimensional hyperbolic space
Notice bibliographique
Résumé
For <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Gamma"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> a cofinite Kleinian group acting on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper H cubed"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {H}^3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we study the prime geodesic theorem on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M equals normal upper Gamma minus double-struck upper H cubed"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ </mml:mi> <mml:mi class="MJX-variant" mathvariant="normal"> ∖ </mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M=\Gamma \backslash \mathbb {H}^3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , which asks about the asymptotic behavior of lengths of primitive closed geodesics (prime geodesics) on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript normal upper Gamma Baseline left-parenthesis upper X right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{\Gamma }(X)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the error in the counting of prime geodesics with length at most <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="log upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\log X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . For the Picard manifold, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Gamma equals normal upper P normal upper S normal upper L left-parenthesis 2 comma double-struck upper Z left-bracket i right-bracket right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ </mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">P</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">S</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Gamma =\mathrm {PSL}(2,\mathbb {Z}[i])</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we improve the classical bound of Sarnak, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript normal upper Gamma Baseline left-parenthesis upper X right-parenthesis equals upper O left-parenthesis upper X Superscript 5 slash 3 plus epsilon Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi> ϵ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E_{\Gamma }(X)=O(X^{5/3+\epsilon })</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript normal upper Gamma Baseline left-parenthesis upper X right-parenthesis equals upper O left-parenthesis upper X Superscript 13 slash 8 plus epsilon Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi>
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,004 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».