Large Deviations and Ratio Limit Theorems for Pattern-Avoiding Permutations
Notice bibliographique
Résumé
For a fixed permutation τ, let $\mathcal{S}_N(\tau)$ be the set of permutations onNelements that avoid the pattern τ. Madras and Liu (2010) conjectured that $\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{|\mathcal{S}_{N+1}(\tau)|}{ |\mathcal{S}_N(\tau)|}$ exists; if it does, it must equal the Stanley–Wilf limit. We prove the conjecture for every permutation τ of length 5 or less, as well as for some longer cases (including 704 of the 720 permutations of length 6). We also consider permutations drawn at random from $\mathcal{S}_N(\tau)$ , and we investigate properties of their graphs (viewing permutations as functions on {1,. . .,N}) scaled down to the unit square [0,1]2. We prove exact large deviation results for these graphs when τ has length 3; it follows, for example, that it is exponentially unlikely for a random 312-avoiding permutation to have points above the diagonal strip |y−x| < ε, but not unlikely to have points below the strip. For general τ, we show that some neighbourhood of the upper left corner of [0,1]2is exponentially unlikely to contain a point of the graph if and only if τ starts with its largest element. For patterns such as τ=4231 we establish that this neighbourhood can be extended along the sides of [0,1]2to come arbitrarily close to the corner points (0,0) and (1,1), as simulations had suggested.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,006 | 0,051 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,003 | 0,003 |
| Bibliométrie | 0,004 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,005 |
| Communication savante | 0,003 | 0,007 |
| Science ouverte | 0,005 | 0,004 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,005 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,010 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».