Balancing Vectors in Any Norm
Notice bibliographique
Résumé
In the vector balancing problem, we are given symmetric convex bodies C and K in R^n, and our goal is to determine the minimum number β ≥ 0, known as the vector balancing constant from C to K, such that for any sequence of vectors in C there always exists a signed combination of them lying inside β K. Many fundamental results in discrepancy theory, such as the Beck-Fiala theorem (Discrete Appl.~Math '81), Spencer's "six standard deviations suffice" theorem (Trans.~Amer.~Math.~Soc '85) and Banaszczyk's vector balancing theorem (Random Structures & Algorithms '98) correspond to bounds on vector balancing constants. The above theorems have inspired much research in recent years within theoretical computer science. In this work, we show that all vector balancing constants admit "good" approximate characterizations, with approximation factors depending only polylogarithmically on the dimension n. First, we show that a volumetric lower bound due to Banaszczyk is tight within a O(log n) factor. Our proof is algorithmic, and we show that Rothvoss's (FOCS '14) partial coloring algorithm can be analyzed to obtain these guarantees. Second, we present a novel convex program which encodes the "best possible way" to apply Banaszczyk's vector balancing theorem for bounding vector balancing constants from above, and show that it is tight within an O(log^2.5 n) factor. This also directly yields a corresponding polynomial time approximation algorithm both for vector balancing constants, and for the hereditary discrepancy of any sequence of vectors with respect to an arbitrary norm.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,012 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,002 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,004 | 0,008 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,004 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,003 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,009 | 0,003 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».