Higher Dimensional Lattice Walks: Connecting Combinatorial and Analytic Behavior
Notice bibliographique
Résumé
We consider the enumeration of walks on the nonnegative lattice $\mathbb{N}^{d},$ with steps defined by a set $\mathcal{S}\subset \{-1, 0, 1\}^d\backslash\{{0}\}$. Previous work in this area has established asymptotics for the number of walks in certain families of models by applying the techniques of analytic combinatorics in several variables (ACSV), where one encodes the generating function of a lattice path model as the diagonal of a multivariate rational function. Melczer and Mishna obtained asymptotics when the set of steps $\mathcal{S}$ is symmetric over every axis; in this setting one can always apply the methods of ACSV to a multivariate rational function whose set of singularities is a smooth manifold (the simplest case). Here we go further, providing asymptotics for models with generating functions that must be encoded by multivariate rational functions having nonsmooth singular sets. In the process, our analysis connects past work to deeper structural results in the theory of ACSV. One application is a closed form for asymptotics of models defined by step sets that are symmetric over all but one axis. As a special case, we apply our results when $d=2$ to give a rigorous proof of asymptotics conjectured by Bostan and Kauers; asymptotics for walks returning to boundary axes and the origin are also given.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,007 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,003 | 0,004 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,004 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».