Model theory and metric convergence II: Averages of unitary polynomial actions
Notice bibliographique
Résumé
We use model theory of metric structures to prove the pointwise convergence, with a uniform metastability rate, of averages of a polynomial sequence <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace upper T Subscript n Baseline right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{T_n\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (in Leibman’s sense) of unitary transformations of a Hilbert space. As a special case, this applies to unitary sequences <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace upper U Superscript p left-parenthesis n right-parenthesis Baseline right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{U^{p(n)}\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a polynomial <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper Z right-arrow double-struck upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {Z}\to \mathbb {Z}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper U"> <mml:semantics> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">U</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> a fixed unitary operator; however, our convergence results hold for arbitrary Leibman sequences. As a case study, we show that the non-nilpotent “lamplighter group” <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper Z wreath-product double-struck upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ≀ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {Z}\wr \mathbb {Z}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is realized as the range of a suitable quadratic Leibman sequence. We also indicate how these convergence results generalize to arbitrary Følner averages of unitary polynomial actions of any abelian group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper G"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {G}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in place of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {Z}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,003 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,004 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».