A variational formulation for computing shape derivatives of geometric constraints along rays
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Notice bibliographique
Résumé
In the formulation of shape optimization problems, multiple geometric constraint functionals involve the signed distance function to the optimized shape Ω. The numerical evaluation of their shape derivatives requires to integrate some quantities along the normal rays to Ω, a challenging operation to implement, which is usually achieved thanks to the method of characteristics. The goal of the present paper is to propose an alternative, variational approach for this purpose. Our method amounts, in full generality, to compute integral quantities along the characteristic curves of a given velocity field without requiring the explicit knowledge of these curves on the spatial discretization; it rather relies on a variational problem which can be solved conveniently by the finite element method. The well-posedness of this problem is established thanks to a detailed analysis of weighted graph spaces of the advection operator β ⋅ ∇ associated to a C 1 velocity field β . One novelty of our approach is the ability to handle velocity fields with possibly unbounded divergence: we do not assume div( β ) ∈ L ∞ . Our working assumptions are fulfilled in the context of shape optimization of C 2 domains Ω, where the velocity field β = ∇ d Ω is an extension of the unit outward normal vector to the optimized shape. The efficiency of our variational method with respect to the direct integration of numerical quantities along rays is evaluated on several numerical examples. Classical albeit important implementation issues such as the calculation of a shape’s curvature and the detection of its skeleton are discussed. Finally, we demonstrate the convenience and potential of our method when it comes to enforcing maximum and minimum thickness constraints in structural shape optimization.
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle