On the use of the axially symmetric paraboloidal coordinate system in deriving some properties of Stark states of hydrogenic atoms and ions
Notice bibliographique
Résumé
Abstract While the parabolic coordinate system has been widely applied in providing the quantum mechanical basis for the description of the Stark states, following the pioneering studies of Schrödinger and Epstein of the Stark effect, use of the alternative, closely related axially symmetric paraboloidal coordinate system in atomic physics appears to have been practically confined to the so-called ‘Old Quantum Theory’ of Sommerfeld. The aim of the present study is to show that the axially symmetric paraboloidal coordinate system, which has found practical application in electromagnetic theory, can also be used quite readily for deriving the properties of the Stark states. In this paper, we consider the application of this coordinate system both from the standpoint of wave mechanics and the operator calculus of the O(4) symmetry group applied to the Coulomb problem, obtaining the analogue of the Kramers–Pasternack recursion relations, which may readily be used in the determination of coordinate matrix elements, besides examining some properties of the Runge–Lenz–Pauli vector operator, in particular in relation to the Pauli identity. The generalised momenta corresponding to the curvilinear coordinates are defined, and the canonically conjugate (Hermitian) momentum operators derived. The discussion is illustrated in conclusion by a straight-forward numerical example, which relates the present treatment to corresponding results obtained in spherical polar coordinates, for both the radial matrix elements and the radial Heisenberg uncertainty product. The use here of ladder techniques in both the coordinate matrix elements and in the projection of the state functions on different coordinate systems would again provide a ready means of efficient calculation for highly excited states in dilute astrophysical plasmas, complementing the discussion in earlier papers (Hey 2007 J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys . 40 4077–96; Hey 2015 J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys . 48 185701), when one wishes to avoid numerical problems associated with very high principal quantum numbers in the analysis of radio recombination spectra from H II regions (Hey 2006 J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys . 39 2641–64).
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,001 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,002 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».