Euler’s function on products of primes in a fixed arithmetic progression
Notice bibliographique
Résumé
We study generalizations of some results of Jean-Louis Nicolas regarding the relation between small values of Euler’s function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi left-parenthesis n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varphi (n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the Riemann Hypothesis. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C left-parenthesis q comma a right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C(q, a)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the constant appearing in the asymptotic formula <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="product Underscript StartLayout 1st Row p less-than-or-equal-to x 2nd Row p identical-to a left-parenthesis mod reverse-solidus left-brace q right-brace right-parenthesis EndLayout Endscripts left-parenthesis 1 minus StartFraction 1 Over p EndFraction right-parenthesis tilde StartFraction upper C left-parenthesis q comma a right-parenthesis Over left-parenthesis log x right-parenthesis Superscript StartFraction 1 Over phi left-parenthesis q right-parenthesis EndFraction Baseline EndFraction comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo> ∏ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mstyle scriptlevel="1"> <mml:mtable rowspacing="0.1em" columnspacing="0em" displaystyle="false"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> ≡ </mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext>(mod\ {q})</mml:mtext> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∼ </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\prod _{\substack {p \leq x \\ p \equiv a\ \text {(mod\ {q})}}} \left (1 - \frac {1}{p}\right ) \sim \frac {C(q, a)}{(\log {x})^\frac {1}{\varphi (q)}},</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x right-arrow normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x\rightarrow \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Among other things, we prove that for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 less-than-or-equal-to q less-than-or-equal-to 10"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>10</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1\leq q\leq 10</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q equals 12 comma 14"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>12</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>14</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q=12, 14</mml:annotation>
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».