Average Stretch Factor: How Low Does It Go?
Notice bibliographique
Résumé
In a geometric graph, $G$, the \emph{stretch factor} between two vertices, $u$ and $w$, is the ratio between the Euclidean length of the shortest path from $u$ to $w$ in $G$ and the Euclidean distance between $u$ and $w$. The \emph{average stretch factor} of $G$ is the average stretch factor taken over all pairs of vertices in $G$. We show that, for any constant dimension, $d$, and any set, $V$, of $n$ points in $\mathbb{R}^d$, there exists a geometric graph with vertex set $V$, that has $O(n)$ edges, and that has average stretch factor $1+ o_n(1)$. More precisely, the average stretch factor of this graph is $1+O((\log n/n)^{1/(2d+1)})$. We complement this upper-bound with a lower bound: There exist $n$-point sets in $\mathbb{R}^2$ for which any graph with $O(n)$ edges has average stretch factor $1+Ω(1/\sqrt{n})$. Bounds of this type are not possible for the more commonly studied worst-case stretch factor. In particular, there exists point sets, $V$, such that any graph with worst-case stretch factor $1+o_n(1)$ has a superlinear number of edges.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,005 | 0,042 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,003 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,003 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,004 |
| Études des sciences et des technologies | 0,003 | 0,004 |
| Communication savante | 0,007 | 0,034 |
| Science ouverte | 0,005 | 0,004 |
| Intégrité de la recherche | 0,005 | 0,006 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,014 | 0,009 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».