Optimal transportation, topology and uniqueness
Notice bibliographique
Résumé
The Monge-Kantorovich transportation problem involves optimizing with respect to a given a cost function. Uniqueness is a fundamental open question about which little is known when the cost function is smooth and the landscapes containing the goods to be transported possess (non-trivial) topology. This question turns out to be closely linked to a delicate problem (# 111) of Birkhoff [14]: give a necessary and sufficient condition on the support of a joint probability to guarantee extremality among all measures which share its marginals. Fifty years of progress on Birkhoff's question culminate in Hestir and Williams' necessary condition which is nearly sufficient for extremality; we relax their subtle measurability hypotheses separating necessity from sufficiency slightly, yet demonstrate by example that to be sufficient certainly requires some measurability. Their condition amounts to the vanishing of the measure γoutside a countable alternating sequence of graphs and antigraphs in which no two graphs (or two antigraphs) have domains that overlap, and where the domain of each graph / antigraph in the sequence contains the range of the succeeding antigraph (respectively, graph). Such sequences are called numbered limb systems. We then explain how this characterization can be used to resolve the uniqueness of Kantorovich solutions for optimal transportation on a manifold with the topology of the sphere.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,007 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,006 |
| Communication savante | 0,002 | 0,006 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».