$G$-fixed Hilbert schemes on $K3$ surfaces, modular forms, and eta products
Notice bibliographique
Résumé
Let $X$ be a complex $K3$ surface with an effective action of a group $G$ which preserves the holomorphic symplectic form. Let $$ Z_{X,G}(q) = \sum_{n=0}^{\infty} e\left(\operatorname{Hilb}^{n}(X)^{G} \right)\, q^{n-1} $$ be the generating function for the Euler characteristics of the Hilbert schemes of $G$-invariant length $n$ subschemes. We show that its reciprocal, $Z_{X,G}(q)^{-1}$ is the Fourier expansion of a modular cusp form of weight $\frac{1}{2} e(X/G)$ for the congruence subgroup $\Gamma_{0}(|G|)$. We give an explicit formula for $Z_{X,G}$ in terms of the Dedekind eta function for all 82 possible $(X,G)$. The key intermediate result we prove is of independent interest: it establishes an eta product identity for a certain shifted theta function of the root lattice of a simply laced root system. We extend our results to various refinements of the Euler characteristic, namely the Elliptic genus, the Chi-$y$ genus, and the motivic class. Comment: Published version. Greatly simplified proof of Proposition 3.1
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,003 |
| Communication savante | 0,001 | 0,004 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,003 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,013 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».