Deterministic Reduction of Integer Nonsingular Linear System Solving to Matrix Multiplication
Notice bibliographique
Résumé
We present a deterministic reduction to matrix multiplication for the problem of linear system solving: given as input a nonsingular A \in \Z^n \times n and b \in \Z^n \times 1 , compute A^-1 b. We give an algorithm that computes the minimal integer e such that all denominators of the entries in 2^eA^-1 are relatively prime to 2. Then, for a b that has entries with bitlength O(n) times as large as the bitlength of entries in A, we give an algorithm to produce the 2-adic expansion of 2^eA^-1 b up to a precision high enough such that A^-1 b over \Q can be recovered using rational number reconstruction. Both e and the 2-adic expansion can be computed in O(\MM(n,łog n + łog ||A||) \times (łog n) (łog n + łoglog ||A||)) bit operations. Here, ||A||= \max_ij |A_ij | and \MM(n,d) is the cost to multiply together, modulo 2^d, two n \times n integer matrices. Our approach is based on the previously known reductions of linear system solving to matrix multiplication which use randomization to find an integer lifting modulus X that is relatively prime to \det A. Here, we derandomize by first computing a permutation P, a unit upper triangular M, and a diagonal S with \det S a power of two, such that U := APMS^-1 is an integer matrix with 2 \perp \det U. This allows our modulus X to be chosen a power of 2.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,005 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,001 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,003 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,005 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».