Higher Dimensional Algebra VII: Groupoidification
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Notice bibliographique
Résumé
Groupoidification is a form of categorification in which vector spaces are replaced by groupoids and linear operators are replaced by spans of groupoids.We introduce this idea with a detailed exposition of 'degroupoidification': a systematic process that turns groupoids and spans into vector spaces and linear operators.Then we present three applications of groupoidification.The first is to Feynman diagrams.The Hilbert space for the quantum harmonic oscillator arises naturally from degroupoidifying the groupoid of finite sets and bijections.This allows for a purely combinatorial interpretation of creation and annihilation operators, their commutation relations, field operators, their normal-ordered powers, and finally Feynman diagrams.The second application is to Hecke algebras.We explain how to groupoidify the Hecke algebra associated to a Dynkin diagram whenever the deformation parameter q is a prime power.We illustrate this with the simplest nontrivial example, coming from the A 2 Dynkin diagram.In this example we show that the solution of the Yang-Baxter equation built into the A 2 Hecke algebra arises naturally from the axioms of projective geometry applied to the projective plane over the finite field F q .The third application is to Hall algebras.We explain how the standard construction of the Hall algebra from the category of F q representations of a simply-laced quiver can be seen as an example of degroupoidification.This in turn provides a new way to categorify-or more precisely, groupoidify-the positive part of the quantum group associated to the quiver.
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle