Rational Points in Arithmetic Progressions on <i>y</i><sup>2</sup> = <i>x<sup>n</sup></i> + <i>k</i>
Notice bibliographique
Résumé
Abstract Let C be a hyperelliptic curve given by the equation y 2 = f ( x ) for f ∈ ℤ[ x ] without multiple roots. We say that points P i = ( x i , y i ) ∈ C (ℚ) for i = 1, 2, … , m are in arithmetic progression if the numbers x i for i = 1, 2, … , m are in arithmetic progression. In this paper we show that there exists a polynomial k ∈ ℤ[ t ] with the property that on the elliptic curve ε ′ : y 2 = x 3 + k ( t ) (defined over the field ℚ( t )) we can find four points in arithmetic progression that are independent in the group of all ℚ( t )-rational points on the curve Ε′. In particular this result generalizes earlier results of Lee and Vélez. We also show that if n ∈ ℕ is odd, then there are infinitely many k 's with the property that on curves y 2 = x n + k there are four rational points in arithmetic progressions. In the case when n is even we can find infinitely many k 's such that on curves y 2 = x n + k there are six rational points in arithmetic progression.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,044 | 0,017 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; les deux têtes enseignantes s’accordent sur ce qui est montré ici.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».