Inequities in the Shanks-Renyi Prime Number Race: An asymptotic formula\n for the densities
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
Chebyshev was the first to observe a bias in the distribution of primes in\nresidue classes. The general phenomenon is that if $a$ is a nonsquare\\mod q and\n$b$ is a square\\mod q, then there tend to be more primes congruent to $a\\mod q$\nthan $b\\mod q$ in initial intervals of the positive integers; more succinctly,\nthere is a tendency for $\\pi(x;q,a)$ to exceed $\\pi(x;q,b)$. Rubinstein and\nSarnak defined $\\delta(q;a,b)$ to be the logarithmic density of the set of\npositive real numbers $x$ for which this inequality holds; intuitively,\n$\\delta(q;a,b)$ is the "probability" that $\\pi(x;q,a) > \\pi(x;q,b)$ when $x$ is\n"chosen randomly". In this paper, we establish an asymptotic series for\n$\\delta(q;a,b)$ that can be instantiated with an error term smaller than any\nnegative power of $q$. This asymptotic formula is written in terms of a\nvariance $V(q;a,b)$ that is originally defined as an infinite sum over all\nnontrivial zeros of Dirichlet $L$-functions corresponding to characters\\mod q;\nwe show how $V(q;a,b)$ can be evaluated exactly as a finite expression. In\naddition to providing the exact rate at which $\\delta(q;a,b)$ converges to\n$\\frac12$ as $q$ grows, these evaluations allow us to compare the various\ndensity values $\\delta(q;a,b)$ as $a$ and $b$ vary modulo $q$; by analyzing the\nresulting formulas, we can explain and predict which of these densities will be\nlarger or smaller, based on arithmetic properties of the residue classes $a$\nand $b\\mod q$. For example, we show that if $a$ is a prime power and $a'$ is\nnot, then $\\delta(q;a,1) < \\delta(q;a',1)$ for all but finitely many moduli $q$\nfor which both $a$ and $a'$ are nonsquares. Finally, we establish rigorous\nnumerical bounds for these densities $\\delta(q;a,b)$ and report on extensive\ncalculations of them.\n
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,001 |
| Communication savante | 0,000 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle