Inequities in the Shanks-Renyi Prime Number Race: An asymptotic formula\n for the densities
Notice bibliographique
Résumé
Chebyshev was the first to observe a bias in the distribution of primes in\nresidue classes. The general phenomenon is that if $a$ is a nonsquare\\mod q and\n$b$ is a square\\mod q, then there tend to be more primes congruent to $a\\mod q$\nthan $b\\mod q$ in initial intervals of the positive integers; more succinctly,\nthere is a tendency for $\\pi(x;q,a)$ to exceed $\\pi(x;q,b)$. Rubinstein and\nSarnak defined $\\delta(q;a,b)$ to be the logarithmic density of the set of\npositive real numbers $x$ for which this inequality holds; intuitively,\n$\\delta(q;a,b)$ is the "probability" that $\\pi(x;q,a) > \\pi(x;q,b)$ when $x$ is\n"chosen randomly". In this paper, we establish an asymptotic series for\n$\\delta(q;a,b)$ that can be instantiated with an error term smaller than any\nnegative power of $q$. This asymptotic formula is written in terms of a\nvariance $V(q;a,b)$ that is originally defined as an infinite sum over all\nnontrivial zeros of Dirichlet $L$-functions corresponding to characters\\mod q;\nwe show how $V(q;a,b)$ can be evaluated exactly as a finite expression. In\naddition to providing the exact rate at which $\\delta(q;a,b)$ converges to\n$\\frac12$ as $q$ grows, these evaluations allow us to compare the various\ndensity values $\\delta(q;a,b)$ as $a$ and $b$ vary modulo $q$; by analyzing the\nresulting formulas, we can explain and predict which of these densities will be\nlarger or smaller, based on arithmetic properties of the residue classes $a$\nand $b\\mod q$. For example, we show that if $a$ is a prime power and $a'$ is\nnot, then $\\delta(q;a,1) < \\delta(q;a',1)$ for all but finitely many moduli $q$\nfor which both $a$ and $a'$ are nonsquares. Finally, we establish rigorous\nnumerical bounds for these densities $\\delta(q;a,b)$ and report on extensive\ncalculations of them.\n
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,008 | 0,052 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,008 |
| Communication savante | 0,003 | 0,009 |
| Science ouverte | 0,003 | 0,005 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,006 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,008 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».