Dynamic and stochastic propagation of the Brenier optimal mass transport
Notice bibliographique
Résumé
Similar to how Hopf–Lax–Oleinik-type formula yield variational solutions for Hamilton–Jacobi equations on Euclidean space, optimal mass transportations can sometimes provide variational formulations for solutions of certain mean-field games. We investigate here the particular case of transports that maximize and minimize the following ‘ballistic’ cost functional on phase space TM , which propagates Brenier’s transport along a Lagrangian L , $$b_T(v, x):=\inf\left\{\langle v, \gamma (0)\rangle +\int_0^TL(t, \gamma (t), {\dot \gamma}(t))\, dt; \gamma \in C^1([0, T], M); \gamma(T)=x\right\}\!,$$ where $M = \mathbb{R}^d$ , and T > 0. We also consider the stochastic counterpart: \begin{align*} \underline{B}_T^s(\mu,\nu):=\inf\left\{\mathbb{E}\left[\langle V,X_0\rangle +\int_0^T L(t, X,\beta(t,X))\,dt\right]\!; X\in \mathcal{A}, V\sim\mu,X_T\sim \nu\right\}\!, \end{align*} where $\mathcal{A}$ is the set of stochastic processes satisfying dX = β X ( t , X ) dt + dW t , for some drift β X ( t , X ), and where W t is σ ( X s : 0 ≤ s ≤ t )-Brownian motion. Both cases lead to Lax–Oleinik-type formulas on Wasserstein space that relate optimal ballistic transports to those associated with dynamic fixed-end transports studied by Bernard–Buffoni and Fathi–Figalli in the deterministic case, and by Mikami–Thieullen in the stochastic setting. While inf-convolution easily covers cost minimizing transports, this is not the case for total cost maximizing transports, which actually are sup-inf problems. However, in the case where the Lagrangian L is jointly convex on phase space, Bolza-type dualities – well known in the deterministic case but novel in the stochastic case – transform sup-inf problems to sup–sup settings. We also write Eulerian formulations and point to links with the theory of mean-field games.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».