Equal sums in random sets and the concentration of divisors
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
Abstract We study the extent to which divisors of a typical integer n are concentrated. In particular, defining $$\Delta (n) := \max _t \# \{d | n, \log d \in [t,t+1]\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>max</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>#</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , we show that $$\Delta (n) \geqslant (\log \log n)^{0.35332277\ldots }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0.35332277</mml:mn> <mml:mo>…</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for almost all n , a bound we believe to be sharp. This disproves a conjecture of Maier and Tenenbaum. We also prove analogs for the concentration of divisors of a random permutation and of a random polynomial over a finite field. Most of the paper is devoted to a study of the following much more combinatorial problem of independent interest. Pick a random set $${\textbf{A}} \subset {\mathbb {N}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> by selecting i to lie in $${\textbf{A}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:math> with probability 1/ i . What is the supremum of all exponents $$\beta _k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> such that, almost surely as $$D \rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , some integer is the sum of elements of $${\textbf{A}} \cap [D^{\beta _k}, D]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> in k different ways? We characterise $$\beta _k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> as the solution to a certain optimisation problem over measures on the discrete cube $$\{0,1\}^k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , and obtain lower bounds for $$\beta _k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> which we believe to be asymptotically sharp.
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,001 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle