On the bivariate Erdős–Kac theorem and correlations of the Möbius function
Notice bibliographique
Résumé
Abstract Given a positive integer n let ω ( n ) denote the number of distinct prime factors of n , and let a be fixed positive integer. Extending work of Kubilius, we develop a bivariate probabilistic model to study the joint distribution of the deterministic vectors ( ω ( n ), ω ( n + a )), with n ≤ x as x → ∞, where n and n + a belong to a subset of ℕ with suitable properties. We thus establish a quantitative version of a bivariate analogue of the Erdős–Kac theorem on proper subsets of ℕ. We give three applications of this result. First, if y = x 0 (1) is not too small then we prove (in a quantitative way) that the y -truncated Möbius function μ y has small binary autocorrelations. This gives a new proof of a result due to Daboussi and Sarkőzy. Second, if μ ( n ; u ) := e ( uω ( n )), where u ∈ ℝ then we show that μ (.; u ) also has small binary autocorrelations whenever u = o (1) and $u\sqrt {\mathop {\log }\nolimits_2 x} \to \infty$ , as x → ∞. These can be viewed as partial results in the direction of a conjecture of Chowla on binary correlations of the Möbius function. Our final application is related to a problem of Erdős and Mirsky on the number of consecutive integers less than x with the same number of divisors. If $y = x^{{1 \over \beta }}$ , where β = β( x ) satisfies certain mild growth conditions, we prove a lower bound for the number of consecutive integers n ≤ x that have the same number of y -smooth divisors. Our bound matches the order of magnitude of the one conjectured for the original Erdős-Mirsky problem.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,001 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».