On the $p^{\text{th}}$ variation of a class of fractal functions
Notice bibliographique
Résumé
The concept of the $p^{\text{th}}$ variation of a continuous function $f$ along a refining sequence of partitions is the key to a pathwise Itô integration theory with integrator $f$. Here, we analyze the $p^{\text{th}}$ variation of a class of fractal functions, containing both the Takagi--van der Waerden and Weierstraß functions. We use a probabilistic argument to show that these functions have linear $p^{\text{th}}$ variation for a parameter $p\ge1$, which can be interpreted as the reciprocal Hurst parameter of the function. It is shown moreover that if functions are constructed from (a skewed version of) the tent map, then the slope of the $p^{\text{th}}$ variation can be computed from the $p^{\text{th}}$ moment of a (non-symmetric) infinite Bernoulli convolution. Finally, we provide a recursive formula of these moments and use it to discuss the existence and non-existence of a signed version of the $p^{\text{th}}$ variation, which occurs in pathwise Itô calculus when $p\ge3$ is an odd integer.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».