Multiplicative functions in short arithmetic progressions
Notice bibliographique
Résumé
Abstract We study for bounded multiplicative functions sums of the form establishing that their variance over residue classes is small as soon as , for almost all moduli , with a nearly power‐saving exceptional set of . This improves and generalizes previous results of Hooley on Barban–Davenport–Halberstam type theorems for such , and moreover our exceptional set is essentially optimal unless one is able to make progress on certain well‐known conjectures. We are nevertheless able to prove stronger bounds for the number of the exceptional moduli in the cases where is restricted to be either smooth or prime, and conditionally on GRH we show that our variance estimate is valid for every . These results are special cases of a “hybrid result” that we establish that works for sums of over almost all short intervals and arithmetic progressions simultaneously, thus generalizing the Matomäki–Radziwiłł theorem on multiplicative functions in short intervals. We also consider the maximal deviation of over all residue classes in the square root range , and show that it is small for “smooth‐supported” , again apart from a nearly power‐saving set of exceptional , thus providing a smaller exceptional set than what follows from Bombieri–Vinogradov type theorems. As an application of our methods, we consider Linnik‐type problems for products of exactly three primes, and in particular prove a ternary approximation to a conjecture of Erdős on representing every element of the multiplicative group as the product of two primes less than .
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,010 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,002 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,002 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».