The antipode of linearized Hopf monoids
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
In this paper, a Hopf monoid is an algebraic structure built on objects in the category of Joyal’s vector species. There are two Fock functors, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>𝒦</mml:mi> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>𝒦</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> , that map a Hopf monoid <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi> </mml:math> to graded Hopf algebras <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>𝒦</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>𝒦</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , respectively. There is a natural Hopf monoid structure on linear orders <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi> </mml:math> , and the two Fock functors are related by <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>𝒦</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>𝒦</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Unlike the functor <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>𝒦</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> , the functor <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>𝒦</mml:mi> </mml:math> applied to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi> </mml:math> may not preserve the antipode of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi> </mml:math> . In view of the relation between <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>𝒦</mml:mi> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>𝒦</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> , one may consider instead of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi> </mml:math> the larger Hopf monoid <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and study the antipode of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . One of the main results in this paper provides a cancellation free and multiplicity free formula for the antipode of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . As a consequence, we obtain a new antipode formula for the Hopf algebra <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>𝒦</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . We explore the case when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi> </mml:math> is commutative and cocommutative, and obtain new antipode formulas that, although not cancellation free, they can be used to obtain an antipode formula for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>𝒦</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="bold">H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> in some cases. We also recover many well-known identities in the literature involving antipodes of certain Hopf algebras. In our study of commutative and cocommutative Hopf monoids, hypergraphs and acyclic orientations play a central role. We obtain polynomials analogous to the chromatic polynomial of a graph, and also identities parallel to Stanley’s ( <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> )-color theorem. An important consequence of our notion of acyclic orientation of hypergraphs is a geometric interpretation for the antipode formula for hypergraphs. This interpretation, which differs from the recent work of Aguiar and Ardila as the Hopf structures involved are different, appears in subsequent work by the authors.
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle