Strict Complementarity in Semidefinite Optimization with Elliptopes Including the MaxCut SDP
Notice bibliographique
Résumé
The MaxCut approximation algorithm by Goemans and Williamson is one of the most celebrated results in semidefinite optimization, and the corresponding MaxCut semidefinite optimization problem (SDP) has many favourable properties. The feasible regions of this class of SDPs are known as elliptopes, and they have been studied extensively. One of their nicest geometric/duality properties is the fact that their vertices correspond exactly to the cuts of a graph, as proved by Laurent and Poljak in 1995. Recall that a boundary point $x$ of a convex set $\mathscr{C}$ is called a vertex of $\mathscr{C}$ if the normal cone of $\mathscr{C}$ at $x$ is full-dimensional. Semidefinite programs over elliptopes were also exploited by Goemans and Williamson and by Nesterov to develop approximation algorithms for the Maximum-2-Satisfiability problem and for nonconvex quadratic optimization problems, respectively. We study how often strict complementarity holds or fails for SDPs over elliptopes when a vertex is optimal, i.e., when the SDP relaxation is tight. While strict complementarity is known to hold when the objective function is in the interior of the normal cone at any vertex, we prove that it fails generically (in a context of Hausdorff measure and Hausdorff dimension) at the boundary of such normal cones. In this regard, SDPs over elliptopes display the nastiest behavior possible for a convex optimization problem. We also study strict complementarity with respect to two classes of objective functions. We show that, when the objective functions are sampled uniformly from a class of negative semidefinite rank-one matrices in the boundary of the normal cone at any vertex, the probability that strict complementarity holds lies in $(0,1)$. To complete our study with a spectral-graph-theory-based viewpoint of the data for the MaxCut SDP, we extend a construction due to Laurent and Poljak of weighted Laplacian matrices for which strict complementarity fails. Their construction works for complete graphs, and we extend it to cosums of graphs under some mild conditions.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,006 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,002 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,004 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,006 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».