Strict Complementarity in Semidefinite Optimization with Elliptopes Including the MaxCut SDP
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Notice bibliographique
Résumé
The MaxCut approximation algorithm by Goemans and Williamson is one of the most celebrated results in semidefinite optimization, and the corresponding MaxCut semidefinite optimization problem (SDP) has many favourable properties. The feasible regions of this class of SDPs are known as elliptopes, and they have been studied extensively. One of their nicest geometric/duality properties is the fact that their vertices correspond exactly to the cuts of a graph, as proved by Laurent and Poljak in 1995. Recall that a boundary point $x$ of a convex set $\mathscr{C}$ is called a vertex of $\mathscr{C}$ if the normal cone of $\mathscr{C}$ at $x$ is full-dimensional. Semidefinite programs over elliptopes were also exploited by Goemans and Williamson and by Nesterov to develop approximation algorithms for the Maximum-2-Satisfiability problem and for nonconvex quadratic optimization problems, respectively. We study how often strict complementarity holds or fails for SDPs over elliptopes when a vertex is optimal, i.e., when the SDP relaxation is tight. While strict complementarity is known to hold when the objective function is in the interior of the normal cone at any vertex, we prove that it fails generically (in a context of Hausdorff measure and Hausdorff dimension) at the boundary of such normal cones. In this regard, SDPs over elliptopes display the nastiest behavior possible for a convex optimization problem. We also study strict complementarity with respect to two classes of objective functions. We show that, when the objective functions are sampled uniformly from a class of negative semidefinite rank-one matrices in the boundary of the normal cone at any vertex, the probability that strict complementarity holds lies in $(0,1)$. To complete our study with a spectral-graph-theory-based viewpoint of the data for the MaxCut SDP, we extend a construction due to Laurent and Poljak of weighted Laplacian matrices for which strict complementarity fails. Their construction works for complete graphs, and we extend it to cosums of graphs under some mild conditions.
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
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score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle