Bifurcations in stochastic equations with delayed feedback

Le diagramme de bifurcation d'une équation différentielle stochastique incluant une échelle de temps retardée est présenté. Nous sommes motivés par des recherches récentes portant sur des modèles de régulation des gènes. Nous débutons avec la forme normale d'une bifurcation de type fourchette auquelle est ajoutée un terme stochastique de manière paramétrique ainsi qu'un terme linéaire incluant le délai. Ce dernier terme introduit une bifurcation de type Hopf où le délai négatif est particulièrement fort dans l'espace des paramètres. Une bifurcation abrupte est trouvée et nous définissons le seuil de bifurcation comme étant le point dans l'espace des paramètres pour lequel la fonction de distribution stationnaire p(x) change d'une fonction delta autour de l'origine à p(x) ~ x^α pour x petit (avec α = -1 exactement au seuil). Nous démontrons que le seuil de bifurcation est modifié par les fluctuations comparé à la limite déterministique par une valeur qui suit une relation linéraire avec l'intensité du bruit. Des expressions analytiques pour les seuils de bifurcation de type fourchette et Hopf du modèle considéré sont présentées. Nos résultats assument que le temps retardé τ est petit comparé aux autres temps charactéristiques du système, une limitation qui n'est pas significative près de la ligne de bifurcation. L'expression pour la bifurcation de type fourchette est déterminée suite à une expansion stochastique de Taylor. La location de cette bifurcation dépend de la moyenne conditionnelle < x(t)|x (t-τ) >, où x(t) est la variable dynamique. Cette probabilité conditionnelle comprend les effets combinés des fluctuations corrélées et du retardement rétroactif. Nous déterminons aussi une expression pour la bifurcation de type Hopf obtenue à l'aide d'une expansion des échelles de temps autour de la solution près du seuil. Nous obtenons une équation de Fokker-Planck associée à la dynamique des amplitudes des oscillations et nous utilisons celle-ci pour déterminer la location du seuil. Contrairement au cas sans délai, nous démontrons que la location des lignes de bifurcation est modifiée comparé à la limite déterministique et donc que l'intéraction entre les corrélations des fluctuations et le délai affectent la stabilité des solutions du modèle étudié. De plus, nous obtenons le temps de corrélation charactéristique associé au modèle. En particulier, la validité de l'hypothèse d'indépendance statistique entre l'état au temps t ainsi qu'au temps t-τ est examinée. Nous trouvons que le temps de corrélation diverge à la bifurcation, signalant l'infirmation de l'indépendence statistique au seuil de bifurcation. Nous déterminons le temps de corrélation par une intégration directe de l'équation gouvernant le modèle ainsi qu'analytiquement dans la limite où le délai est petit. Le temps de corrélation T diverge suivant une relation du type T ~ a^-1, où a est le paramètre de contrôle et où a_{c}=0 est la location de la bifurcation. L'expansion dans la limite où le délai est petit prédit correctement la location du seuil de bifurcation. Néanmoins, des déviations systématiques dans la magnitude du temps de corrélation sont observées entre les deux résultats.

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