On quasisymmetric embeddings of the Brownian map and continuum trees
Notice bibliographique
Résumé
Abstract The Brownian map is a model of random geometry on the sphere and as such an important object in probability theory and physics. It has been linked to Liouville Quantum Gravity and much research has been devoted to it. One open question asks for a canonical embedding of the Brownian map into the sphere or other, more abstract, metric spaces. Similarly, Liouville Quantum Gravity has been shown to be “equivalent” to the Brownian map but the exact nature of the correspondence (i.e. embedding) is still unknown. In this article we show that any embedding of the Brownian map or continuum random tree into $${{\,\mathrm{\mathbb {R}}\,}}^d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>R</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:msup></mml:math> , $${{\,\mathrm{\mathbb {S}}\,}}^d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>S</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:msup></mml:math> , $${{\,\mathrm{\mathbb {T}}\,}}^d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>T</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:msup></mml:math> , or more generally any doubling metric space, cannot be quasisymmetric. We achieve this with the aid of dimension theory by identifying a metric structure that is invariant under quasisymmetric mappings (such as isometries) and which implies infinite Assouad dimension. We show, using elementary methods, that this structure is almost surely present in the Brownian continuum random tree and the Brownian map. We further show that snowflaking the metric is not sufficient to find an embedding and discuss continuum trees as a tool to studying “fractal functions”.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,007 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».