Computing elliptic curves over ℚ via Thue-Mahler equations and related problems
Notice bibliographique
Résumé
We present a practical and efficient algorithm for solving an arbitrary Thue-Mahler equation. This algorithm uses explicit height bounds with refined sieves, combining Diophantine approximation techniques of Tzanakis-de Weger with new geometric ideas. We begin by using methods of algebraic number theory to reduce the problem of solving the Thue-Mahler equation to the problem of solving a finite collection of related Diophantine equations. In the first part of this thesis, we establish the key results which allow us to drastically reduce the number of such Diophantine equations and subsequently reduce the running time. In the second part of this thesis, we show that, by fixing one exponent, there exists an effectively computable constant bounding the solutions of a Goormaghtigh equation under certain conditions. For small values of this fixed exponent, we solve the equation completely. For one such small exponent, we modify and specialize our Thue-Mahler algorithm to the resulting equation in order to fully resolve this case. In the third part, we discuss an algorithm for finding all elliptic curves over ℚ with a given conductor. Though based on classical ideas derived from reducing the problem to one of solving associated Thue-Mahler equations, our approach, in many cases at least, appears to be reasonably efficient computationally. We provide details of the output derived from running the algorithm, concentrating on the cases of conductor p or p², for p prime, with comparisons to existing data. Finally, we specialize the Thue-Mahler algorithm to degree 3, applying an analogue of Matshke-von Kanel’s elliptic logarithm sieve to construct a global sieve, leading to reduced search spaces. The algorithm is implemented in the Magma computer algebra system, and is part of an ongoing collaborative project.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,008 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,003 | 0,007 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,003 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,007 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».