Extremes of log-correlated random fields and the Riemann zeta function, and some asymptotic results for various estimators in statistics

Dans cette thèse, nous étudions les valeurs extrêmes de certains champs aléatoires log-corrélés qui sont gaussiens (le champ libre gaussien inhomogène et la marche aléatoire branchante inhomogène) ou approximativement gaussiens (le log-module de la fonction zêta de Riemann sur la ligne critique et un modèle-jouet randomisé de celui-ci), ainsi que les propriétés asymptotiques de divers estimateurs en statistique. Outre l'introduction et la conclusion, la thèse est divisée en trois parties, chacune contenant trois articles. La première partie contient trois articles sur les champs gaussiens log-corrélés. Le premier article montre le premier ordre de convergence du maximum et du nombre de hauts points pour le champ libre gaussien inhomogène sur tout son domaine. Le deuxième article utilise les résultats du premier article pour montrer que la loi limite de la mesure de Gibbs est une cascade de Ruelle avec un certain nombre d'échelles effectives (un arbre de processus de Poisson-Dirichlet). Le troisième article montre la tension du maximum recentré pour la marche aléatoire branchante inhomogène. La deuxième partie contient trois articles sur la fonction zêta de Riemann. Le premier article montre que, à basse température, la loi limite de la mesure de Gibbs d'un modèle-jouet randomisé du log-module de zêta sur la ligne critique est un processus de Poisson-Dirichlet. Le deuxième article concerne le problème ouvert de la tension du maximum recentré pour ce modèle-jouet sur un intervalle de longueur $O(1)$. Nous simplifions le problème en montrant que le maximum continue se situe à une constante près d'un maximum discret sur $O(\log T \sqrt{\log \log T})$ points. Le troisième article montre le premier ordre de convergence du maximum et de l'énergie libre pour le log-module de la fonction zêta de Riemann sur des intervalles courts de longueur $O(\log^{\theta} T)$, $\theta > -1$, de la ligne critique. La troisième partie contient trois articles traitant de sujets divers en statistique asymptotique. Le premier article montre la monotonicité complète des probabilités multinomiales et ouvre la porte sur l'étude des propriétés asymptotiques des estimateurs de Bernstein sur le simplexe. Le deuxième article prouve une loi uniforme des grands nombres pour les sommes contenant des termes qui « explosent ». Le troisième article trouve la loi limite d'une statistique de score modifiée lorsqu'on teste un membre donné de la famille des lois exponentielles de puissances contre la famille des lois de puissances asymétriques. La thèse contient neuf articles dont sept sont déjà publiés dans des journaux évalués par les pairs. Toute l'information se trouve sur mon site web personnel : https://sites.google.com/site/fouimet26/research.

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