On essentially 4-edge-connected cubic bricks
Notice bibliographique
Résumé
Lovász (1987) proved that every matching covered graph $G$ may be uniquely decomposed into a list of bricks (nonbipartite) and braces (bipartite); we let $b(G)$ denote the number of bricks. An edge $e$ is removable if $G-e$ is also matching covered; furthermore, $e$ is $b$-invariant if $b(G-e)=1$, and $e$ is quasi-$b$-invariant if $b(G-e)=2$. (Each edge of the Petersen graph is quasi-$b$-invariant.) A brick $G$ is near-bipartite if it has a pair of edges $\{e,f\}$ so that $G-e-f$ is matching covered and bipartite; such a pair $\{e,f\}$ is a removable doubleton. (Each of $K_4$ and the triangular prism $\overline{C_6}$ has three removable doubletons.) Carvalho, Lucchesi and Murty (2002) proved a conjecture of Lovász which states that every brick, distinct from $K_4$, $\overline{C_6}$ and the Petersen graph, has a $b$-invariant edge. A cubic graph is essentially $4$-edge-connected if it is $2$-edge-connected and if its only $3$-cuts are the trivial ones; it is well-known that each such graph is either a brick or a brace; we provide a graph-theoretical proof of this fact. We prove that if $G$ is any essentially $4$-edge-connected cubic brick then its edge-set may be partitioned into three (possibly empty) sets: (i) edges that participate in a removable doubleton, (ii) $b$-invariant edges, and (iii) quasi-$b$-invariant edges; our Main Theorem states that if $G$ has two adjacent quasi-$b$-invariant edges, say $e_1$ and $e_2$, then either $G$ is the Petersen graph or the (near-bipartite) Cubeplex graph, or otherwise, each edge of $G$ (distinct from $e_1$ and $e_2$) is $b$-invariant. As a corollary, we deduce that each essentially $4$-edge-connected cubic non-near-bipartite brick $G$, distinct from the Petersen graph, has at least $|V(G)|$ $b$-invariant edges.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,001 |
| Communication savante | 0,001 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,014 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».