Improved algorithms for optimal embeddings
Notice bibliographique
Résumé
In the last decade, the notion of metric embeddings with small distortion has received wide attention in the literature, with applications in combinatorial optimization, discrete mathematics, and bio-informatics. The notion of embedding is, given two metric spaces on the same number of points, to find a bijection that minimizes maximum Lipschitz and bi-Lipschitz constants. One reason for the popularity of the notion is that algorithms designed for one metric space can be applied to a different one, given an embedding with small distortion. The better distortion, the better the effectiveness of the original algorithm applied to a new metric space. The goal recently studied by Kenyon et al. [2004] is to consider all possible embeddings between two finite metric spaces and to find the best possible one; that is, consider a single objective function over the space of all possible embeddings that minimizes the distortion. In this article we continue this important direction. In particular, using a theorem of Albert and Atkinson [2005], we are able to provide an algorithm to find the optimal bijection between two line metrics, provided that the optimal distortion is smaller than 13.602. This improves the previous bound of 3 + 2√2, solving an open question posed by Kenyon et al. [2004]. Further, we show an inherent limitation of algorithms using the “forbidden pattern” based dynamic programming approach, in that they cannot find optimal mapping if the optimal distortion is more than 7 + 4√3 (≃ 13.928). Thus, our results are almost optimal for this method. We also show that previous techniques for general embeddings apply to a (slightly) more general class of metrics.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,019 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,003 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,003 | 0,003 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,004 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,003 | 0,009 |
| Science ouverte | 0,003 | 0,006 |
| Intégrité de la recherche | 0,004 | 0,006 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,014 | 0,004 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».